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三步一体高效训练讲评×5×=1礼记(2)如图所示，因为二面角a-l-B的大小为60°，ACa,BDCB,AC⊥AB,BD⊥AB,所以C}=C才+A+BD-2Ci·1BD1·cos60°=2，所以CD=√2.21.(12分)在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为2的菱形/3 D∠DAB=60°，PD=2,E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点.(1)证明：BD⊥面ACE.(2)是否存在点M,使得直线PA与直线EM所成角的大小为45°？若存在，求PM;若不存在，请说明理由，解析：(1)连接AC与BD交于点O,并连接OE.底面ABCD是菱形，.AC⊥BD,且点O为BD的中点，：点E是PB的中点，∴.OE∥PD,又PDL面ABCD,∴PD⊥BD,∴.OE⊥BD.OE∩AC=O,且OE,ACC面ACE,∴.BD⊥面ACE.(2)假设存在这样的点M满足条件.由(1)得到OE⊥OA,OE⊥OB,OA⊥OB,.以O点为原点，OA,OB,OE所在直线分别为x,y,轴建立空间直角坐标系O-xy(图略)，则P(0,-1,2),A(W3,0,0),E(0,0,1),C(一√3,0,0)，P才=(W3,1,-2),PC=(-√5,1，-2.设Pi=入P心(0≤A≤1)，M(x,y,x),.M(-3入，入-1,2-2λ)，-一1-a》m成.器-斤，=发-金去时=2Pt=2.存在M点为PC的中点时，满足题意，此时PM=√2.22.(12分)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PD⊥底面ABCD,PD=3,E,F分别是PC,AD的中点，点G在PD上，满足DG=1.、E中(G(1)求证：B,E,G,F四点共面.(2)求面BEGF与面PBD的夹角的余弦值，DF解析：以D为原点，DA,DC,DP所在的直线分别为x轴，y轴，之轴建立如图所示的A空间直角坐标系，则D00,0),B(44,0),P(00,3),E0,2,号)，G(00,1,F(2,0,0.(1)B=(-2,-4,0),BE=(-4,-2.3),BC=(-4,-4,1).若存在x,y,使得B驴=xB酡+yBG,则(-2，-4,0）=（-4-4y,-2x-4y,号x+w.-4.x-4y=-2所以2x40-4解得x=-1y=号，1(2x+y=0所以萨=-B正+BC,所以B,E,G,F四点共面.(2)由(1)可求得面BEGF的一个法向量为m=(2,-1,4).Di=(4,4,0),B驴=（一4，一4,3），设面PBD的法向量为n=(x,y,x),Di·n=0m∫4x+4y=0则n=0,即{-4x-4y+3x=0令y=一1，则x=1,之=0，所以n=(1,一1,0)苏取am-是所以面BBF与面PBD的夹角的余登值为震[24新教材·ZCYK,数学-RA选择性必修第-册-G DONG】
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